Rabu, 16 Maret 2011

Teka Teki Matematika

Berikut ini satu contoh teka-teki yang sangat terkenal*. Sering dipakai oleh banyak orang untuk berteka-teki. Walaupun “angka-angka” dan konteks yang dipakai dalam teka-teki berikut ini seringkali berbeda, tetapi prinsip teka-tekinya tetaplah sama. Silakan dicoba..

Tiga sekawan masuk ke hotel untuk menginap. Kata petugas, harga sewa kamarnya Rp. 300.000 Masing-masing mengumpulkan uang Rp. 300.000 untuk membayarnya. Setelah ketiga orang tadi pergi menuju kamar, sang petugas sadar bahwa harga sewa kamarnya seharusnya cuma Rp. 250.000

Kemudian sang petugas meminta Bel-boy untuk menyerahkan uang Rp. 50.000 kepada ketiga orang tadi. Karena uang Rp. 50.000 berbentuk pecahan Rp 10.000 , si Bel-boy hanya menyerahkan uang kepada ketiga orang tadi sebesar Rp. 30.000 , sedangkan yang Rp. 20.000 disimpan untuknya. Uang yang Rp. 30.000 tersebut dibagi-bagi ke tiga orang tadi, masing-masing Rp. 10.000


Sehingga, bila dihitung-hitung, masing-masing orang hanya membayar Rp.90.000. Jadi, bertiga sebenarnya membayar 3 x Rp. 90.000 Rp 270.000 Bila ditambahkan ke uang Rp. 20.000 yang dipegang si Bel-boy, maka jumlahnya Rp. 290.000. Lantas yang Rp.10.000 lagi ke mana?


Carilah 3 buah bilangan berurutan yang jika dijumlahkan hasilnya 30!
Seorang anak memiliki uang 2 kali kali dari uang temannya. Jika jumlah uang mereka Rp84.000,00, berapakah uang masing-masing ?
Sebuah lampu ditempatkan pada setiap jarak 30 meter. Jika ada 10 buah lampu, berapakah jarak dari lampu pertama sampai lampu terakhir ?
Tempatkanlah sebuah garis lurus yang membagi sebuah jam sedemikian hingga jumlah angka-angka pada salah satu sisi sama dengan jumlah angka-angka pada sisi yang lain !
Dua buah es krim dimakan oleh dua anak dalam waktu dua menit. Berapa lama waktu yang diperlukan oleh 5 anak untuk makan 5 buah es krim ?
Seorang anak berumur 5 tahun lebih tua dari kakaknya. Jika jumlah umur mereka 17 tahun, berapakah umur masing-masing ?
Seorang ibu memiliki kaleng berukuran 3 liter dan 5 liter. Dengan menggunakan kaleng-kaleng itu, bagaimana cara mengukur 1 liter air ?
Sebuah kereta listrik bergerak ke arah utara. Jika angin bertiup dari arah barat daya, kearah manakah asapnya bertiup ?
Pada sebuah pemilihan seorang calon mendapat suara 32 lebih banyak dari saingannya. Jika total suara mereka 318, berapa banyak suara yang diperoleh masing-masing ?
Sebuah kereta ekspres yang panjangnya 190 meter melaju dengan kecepatan 80 km/jam melewati kereta barang yang panjangnya 200 meter melaju dengan kecepatan 50 km/jam dari arah yang berlawanan. Kereta mana yang lebih cepat melewati kereta lain ?Masinis mana yang lebih cepat melewati kereta lain ?
Seorang ibu yang berusia 38 tahun memiliki seorang anak berusia 8 tahun. Dalam berapa tahun lagi usia ibu tersebut akan menjadi 3 kali usia anaknya ?
Bilangan 19 dapat dibuat dari 3 angka 1, 2, 3, 4 dan dua tanda penjumlahan yaitu 12 + 3 + 4. Berapa banyak bilangan lain yang dapat dibuat dari 4 angka dan dua tanda jumlah tersebut ?
Sebotol sprite harganya Rp11.000,00. Jika harga sprite Rp1.000,00 lebih mahal dari harga botolnya, berapa rupiahkah harga satu botol sprite ?
Jumlah 5 buah suku barisan bilangan aritmetika 95. Tentukan suku-suku bilangan-bilangan itu !
Ani, Budi dan Cici memiliki beberapa kelereng. Jumlah kelereng Ani dan Cici 11, jumlah kelereng Budi dan Ani 17, dan jumlah kelereng Cici dan Budi 12. Berapa banyak kelereng yang dimiliki oleh ketiga anak itu ?
Berapakah banyaknya bilangan yang dapat dibuat dari angka-angka 1, 2, 3, dan 4 serta sebuah tanda jumlah ?

Buatlah 3 buah garis dari titik pusat sebuah jam yang membagi muka jam itu menjadi 3 bagian sedemikian sehingga jumlah bilangan pada tiap bagian merupakan bilangan yang berurutan !
Dua orang petani membawa sapi-sapi ke pasar. Seorang berkata kepada yang lain ‘jika kamu memberikan 1 ekor sapimu kepadaku kita akan memiliki jumlah sapi yang sama. Petani yang lain menjawab,’ Jika kamu memberikan satu ekor sapimu kepadaku, jumlah sapiku akan 2 kali jumlah sapimu ‘. Berapa jumlah sapi mereka masing-masing ?
Seekor semut mencoba naik ke tangga yang tingginya 10 meter. Pada siang hari dia dapat naik sepanjang 5 meter, tetapi pada malam harinya dia tergelincir turun sepanjang 4 meter. Berapa hari yang diperlukan semut itu untuk dapat sampai ke puncak ?
Ada beberapa ayam dan kelinci di kebun. Jika ada 18 kepala dan 50 kaki. Berapa banyaknya ayam dan kelinci ?
Dalam 5 hari saya makan 100 permen. Sesudah hari pertama, jumlah permen yang saya makan 6 buah lebih banyak daripada hari sebelumnya. Berapakah permen  yang saya makan pada hari pertama ?
Berapa banyaknya bilangan yang dapat dibentuk dari 3 angka yaitu 4, 5 dan 6 jika setiap angka hanya dapat dipakai satu kali ?
Berapa banyaknya bilangan yang dapat dibentuk dari 3 angka 4, 5 dan 6 jika setiap angka dapat dipakai lebih dari 1 kali ?
Saya memiliki beberapa kelinci dan kandang. Jika saya mencoba memasukkan satu kelinci kedalam setiap kandang, satu kelinci akan berada di luar. Jika saya memasukkan dua kelinci dalam setiap kandang, akan ada 1 kandang yang kosong. Berapa banyak kelinci dan kandang yang saya miliki
Jumlah total umur 3 orang dalam sebuah keluarga adalah 75 tahun. Yang tertua berumur 35 tahun. Sepuluh tahun lalu jumlah umur mereka 47 tahun. Berapa umur yang tertua sekarang ?
Jika seorang petani memasukkan sapinya ke dalam kurungan masing-masing 3 ekor dia membutuhkan 4 buah kurungan lebih banyak daripada jika dia memasukkan 5 ekor sapi ke dalam tiap-tiap kurungan. Berapa banyak sapi yang dia miliki ?
Ketika mengikuti lomba lari, posisi saya adalah sebagai berikiut : jika satu orang melewati saya maka banyaknya orang yang berada di depan saya adalah dua kali banyaknya orang di depan saya. Jika saya bisa melewati satu orang maka banyaknya orang di belakang saya adalah 2 kali banyaknya orang di depan saya. Berapa banyaknya pelari yang ikut lomba dan dimanakah posisi saya !
Tangga tali tergantung di sisi sebuah kapal di pelabuhan. Jarak tiap anak tangga 30 cm dan pada saat ini air menenggelamkan tangga keduabelas dari bawah. Berapa panjang tangga yang berada dalam air tiga jam kemudian jika kecepatan naiknya air 20 cm perjam ?
Setoples selai beratnya 800 gram. Jika topels itu berisi selai setengahnya beratnya 480 gram. Berapakah berat toplesnya ?
Seseorang memiliki sebuah kolam di kebun. Kolam itu berbentuk segitiga samasisi dan 3 pohon terletak di tiap-tiap sisinya. Bagaimana cara orang tersebut memperluas kolam menjadi 4 kali lipat ukuran semula, tetapi masih berbentuk segitiga sama sisi dan pohon pohon tidak boleh berada di air maupun di pulau di tengah kolam !
Dua anak ingin membeli sekantong permen.Mereka berdua memiliki uang, tetapi ternyata jumlah uang mereka masih kurang. Uang anak yang pertama kurang Rp2.400,00 dari harga permen, sedang uang anak yang kedua kurang Rp200,00 dari harga permen. Berapa uang mereka masing-masing ?
Sebuah monster akan tumbuh dua kali ukuran sebelumnya setiap hari. Jika sejak lahir monster itu diletakkan di dalam kotak berukuran 1 meter kubik maka dalam 10 hari besar monster akan sama dengan besar kotak. Berapa hari yang diperlukan agar monster itu dapat mengisi setengah bagian kotak ?
Dalam perlombaan lari, jika satu orang berhasil melewati saya maka jumlah orang di depan saya akan sama dengan jumlah orang di belakang saya. Jika saya yang berhasil melewati 1 orang maka jumlah orang di  belakang saya tiga kali jumlah orang di belakang saya. Berapakah banyaknya orang yang ikut lomba lari dan di posisi keberapakah saya ?
Ibu dan putranya memiliki uang Rp22.000,00. Ibu dan putrinya memiliki uang Rp20.000,00. Kedua anaknya memiliki uang 15.000. Berapakah uang masing-masing ?
Jika ada jam pasir berukuran 11 detik dan jam pasir lain berukuran 7 detik. Bagaimana saya menentukan 15 detik dengan tepat ?
Carilah besar sudut diantara dua jarum jam pada pukul 11.30 !
Duabelas orang membeli 12 potong roti. Jika satu laki-laki membeli 2 potong, satu wanita membeli ½ potong, dan satu anak membeli ¼ potong. Berapakah di antara keduabelas orang itu laki-laki ?
Jarak kota A dan kota B 400 km. Sebuah kereta meninggalkan kota apada pukul 11.00 menuju kota B dengan kecepatan rata-rata 80 km/jam. Kereta lain meninggalkan kota B menuju kota A pada pukul 10.30 dengan kecepatan rata-rata  70 km/jam.  Ketika kereta berpapasan, kereta mana yang jaraknya lebih dekat dengan kota B ?
 

Angka Unik

Pernah baca buku Math Wonder karya Alfred S. Posamentier? Dalam buku ini diperlihatkan banyak sekali hal menarik di dalam 'si rumit' Matematika. Untuk lebih jelasnya berikut sepenggal isi buku tersebut.

Perhatikan hasil perkalian dari bilangan yang angkanya satu semua ini.
                                    1 X 1 = 1
                                11 X 11 = 121
                            111 X 111 = 12.321
                      1.111 X 1.111 = 1.234.321
                  11.111 X 11.111 = 123.454.321
              111.111 X 111.111 = 12.345.654.321
        1.111.111 X 1.111.111 = 1.234.567.654.321
    11.111.111 X 11.111.111 = 123.456.787.654.321
111.111.111 X 111.111.111 = 12.345.678.987.654.321

Atau yang ini.
                  1 X 8 + 1 = 9
                12 X 8 + 2 = 98
              123 X 8 + 3 = 987
           1.234 X 8 + 4 = 9.876
         12.345 X 8 + 5 = 98.765
       123.456 X 8 + 6 = 987.654
    1.234.567 X 8 + 7 = 9.876.543
  12.345.678 X 8 + 8 = 98.765.432
123.456.789 X 8 + 9 = 987.654.321

Keanehan angka 76.923. Perhatikan hasil perkaliannya.
 76.923 X 1  = 076.923
76.923 X 10 = 769.230
 76.923 X 9  = 692.307

76.923 X 12 = 923.076
 76.923 X 3  = 230.769
 76.923 X 4  = 307.692

Masih tentang angka 76.923 dengan angka pengali yang berbeda.
76.923 X 2  = 153.846
76.923 X 7  = 538.461
76.923 X 5  = 384.615
76.923 X 11 = 846.153
76.923 X 6  = 461.538
76.923 X 8  = 615.384

Keanehan angka 142857. Lihat pergeseran tempat pada angka hasil perkaliannya.
142.857 X 2 = 285.714
142.857 X 3 = 428.571
142.857 X 4 = 571.428
142.857 X 5 = 714.285
142.857 X 6 = 857.142

Sr : Math Wonder

Kubus Rubik




Kubus Rubik's adalah sebuah permainan teka-teki mekanik yang ditemukan pada tahun 1974 oleh pemahat dan profesor arsitektur Hungaria, Ernő Rubik. Kubus ini terbuat dari plastik dan terdiri atas 26 bagian kecil yang berputar pada poros yang terlihat. Setiap sisi dari kubus ini memiliki sembilan permukaan yang terdiri dari enam warna yang berbeda. Ketika terselesaikan/terpecahkan, setiap sisi dari kubus ini memiliki satu warna dan warna yang berbeda dengan sisi lainnya.

Kubus ini dibuat kembali dan dipasarkan di kawasan eropa pada Mei, 1980. Rubik's tercatat sebagain mainan yang paling banyak terjual di dunia, dengan sekitar 300 juta kubus Rubik's termasuk imitasinya.

Kubus Rubik's mulai terkenal  di Indonesia setelah penyelenggaraan Indonesia Open 2009, dimana acara ini diliput oleh SCTV. Tidak lama setelah itu, kubus rubik mulai populer dan sudah dijual di toko-toko buku besar, seperti Gramedia. Kompetisi Rubik's di Indonesia yang kedua ialah Jakarta Open 2010, dimana Muhammad Iril Khairul Anam memecahkan rekor dunia menyelesaikan kubus rubik dengan mata tertutup. Hingga saat ini, berbagai kompetisi telah diselenggarakan, seperti Indonesian Championship 2010, Bali Cube Day 2010, dan lain - lain.

Di Indonesia sendiri speedcubing belum terlalu populer. Meskipun begitu, ada komunitas rubik di Indonesia seperti NSA (Nusantara Speedcubing Association) dengan ketua saat ini Arnold Soeprajanto. NSA juga memiliki beberapa cabang di Indonesia, seperti JRCC (Jakarta Rubiks Cube Club), PRJ (Paguyuban Rubik Jogjakarta), dan lain - lain.

Rekor tercepat dalam menyelesaikan Kubus Rubik's (Rekor Indonesia) menurut MURI berhasil dicetak pada acara HUT MURI (Museum Rekor-Dunia Indonesia) pada tanggal 31 Januari 2007 di Hotel Grand Candi, Semarang. Catatan waktu yang dibukukan adalah 19,33 detik atas nama Abel Brata Susilo, sedangkan menurut WCA (World Cube Association, organisasi rubik tingkat dunia), Rekor Indonesia dipegang oleh Muhammad Jihan Khalilurrahman pada tanggal 21 November 2010 dalam even Bali Cube Day 2010 dengan catatan waktu 9.68 detik.



Sr : Wikipedia

Magic Square

Magic Square (persegi ajaib) adalah suatu persegi dengan ukuran n x n petak di mana setiap baris, kolom dan diagonal memiliki jumlah yang sama.


Secara singkat magic square sudah dikenal oleh matematikawan Cina sejak 650 Sebelum Masehi. Ada kemungkinan sudah dikenal oleh matematikawan Arab sejak abad ke-7.

Menurut literatur Cina, terdapat legenda bahwa dahulu kala terdapat bencana banjir. Raja besar Yu (禹) berusaha untuk menyalurkan air ke laut. Pada saat itu, terlihat kura-kura dengan pola aneh pada tempurung. Ini yang menjadi landasan untuk membuat suatu persegi 3x3 di mana setaip baris, kolom dan diagonalnya sama. Pola ini, dengan cara tertentu, juga digunakan oleh orang-orang dalam mengendalikan sungai.

Selanjutnya, magic square terus dipelajari dan dikembangkan di berbagai tempat. 

( http://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square)

Beberapa istilah/kasus Magic Square :


Mengkontruksi Magic Square :

Mengkontruksi magic square dapat dilakukan dengan komputer. Ada pula yang dilakukan secara matematis (perhitungan) manual menggunakan konsep modulo.

a. Siames Method
Metode di atas disebut juga sebagai metode Siamese. atau juga sering disebut dengan metode de la Loubère (bacanya susah..). Ingat: Metode Siamese hanya berlaku bagi persegi panjang, misalnya 3x3, 5x5, 7x7.

Langkah-langkah metode Siamese secara general adalah sebagai berikut:
1. Dimulai dari angka 1. Tempatkan di baris teratas, tepat di petak tengah..
2. Kita bergerak ke kanan atas... Jika posisinya sudah berada di paling atas, maka pindah ke paling bawah. Jika posisinya sudah berada di paling kanan, maka pindah ke paling kiri. Kalau sudah ada petak yang terisi, pindah ke petak di bawahnya.. Ulangi langkah ini sampai semua petak terisi.

b. Lozenge Method

Metode ini hanya berlaku persegi yang dapat dibegi 4, misalnya 4x4, 8x8 atau 12x12.

Caranya cukup mudah, yaitu hanya menuliskan angka secara berutuan, kemudian beberapa petak direfleksikan terhadap titik pusat.

Sebagai contoh persegi 4x4 dibentuk sbb:
Tuliskan 1 hingga 16
Buat tanda silang seperti yang terlihat pada gambar di samping, kemudian refleksikan setiap petak tersebut.

Perhatikan bagaimana 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, dan 16 bisa berpindah.

Persegi 8x8 sbb :






































Tuliskan 1 hingga 64 dan berurut.




Buat tanda silang yang terbagi menjadi 4 bagian seperti yang terlihat pada gambar di samping, kemudian refleksikan setiap petak tersebut berdasarkan titik pusat persegi.
Perhatikan bagaimana 1, 4, 5, 8, ..., 64 bisa berpindah...

Salah satu kelemahan metode Lozenge ini adalah kita sulit menentukan pola refleksinya, terutama untuk persegi-persegi besar. Tidak ada aturan khusus yang menentukan polanya. Lebih jauh lagi, kita dapat menentukan polanya lebih dari 1 macam. Ada banyak sekali pola yang dapat dibentuk.

 c. Conway LUX Method



Metode ini hanya berlaku bagi persegi (4m+2) misalnya 6, 10, 14, dan seterusnya.
Metode ini menggunakan prinsip Siamese Method yang dimodifikasi..

Mengapa dinamakan LUX. Perhatikan sekumpulan array berikut.

Langkah-langkahnya:
1. Bagilah persegi menjadi sekumpulan petak 2x2.
2. Dari petak-petak itu, berikan tanda sbb:
(m+1) baris pertama adalah L.
1 baris berikutnya adalah U.
(m-1) baris terakhir adalah X.
Kemudian, tukarlah petak U di tengah dengan L di atasnya.
3. Kerjakan dengan Siamese Method yang general. Angka 1 dimulai dari petak teratas.

Persegi 10x10. (Artinya m=2, karena 4m + 2 = 10)
1.
Bagilah 10x10 menjadi sekumpulan petak 2x2.

m+1 baris pertama adalah L.
1 baris berikutnya adalah U
m-1 baris berikutnya adalah X.

Tukar U yang di tengah dengan petak di atasnya.
Proses ini menghasilkan sbb:
2. Selanjutnya, gunakan metode Siamese untuk 5x5.
Perhatikan aturan LUX di tiap petak.


Hasil akhir persegi ajaib dengan metode LUX:

d. Strachey Method

Metode ini hanya berlaku bagi persegi 4m + 2 (seperti halnya LUX), misalnya 6x6, 10x10. Metode ini juga menggunakan metode Siamese yang dimodifikasi.

Kita langsung saja gunakan contoh, untuk persegi 10x10. (m=2 karena 4m +2 = 10)
1. Bagi persegi menjadi 4 bagian ABCD dengan urutan:

2. Dengan metode Siamese, isilah:
1 s/d 25 di A
26 s/d 50 di B
51 s/d 75 di C .
76 s/d 100 di D

Hasil:
3. Tukar m kolom pertama dari A dengan m kolom pertama dari D.
Tukar (m-1) kolom terakhir dari B dengan (m-1) kolom terakhir dari C.
Note: m=2 karena 4m +2 = 10

Hasilnya:
4. Tukar petak barisan tengah paling kiri di A dengan sel yang sesuai di D.
Tukar petak yang tepat di tengah-tengah A dengan sel yang sesuai di D.

Akan menghasilkan hasil akhir sebagai berikut.

Sr :

Matematika dan Origami

Menurut wikipedia, Origami berasal dari kata ori dan kami. “Ori” artinya melipat dan “kami” artinya kertas. Origami merupakan seni tradisional melipat kertas masyarakat jepang. Dimulai pada abad ke-17 dan dipopulerkan pada pertengahan tahun 1900-an. Selanjutnya origami dikenal sebagai seni modern dalam melipat kertas, dan dikenal umum di seluruh penjuru dunia.

Sebenarnya ada banyak spekulasi mengenai sejarah asal mula origami ini. Hal ini bisa Anda baca di sini.

Tujuan umum origami adalah mengubah bentuk datar sehelai kertas menjadi sebuah bentuk 3-Dimensi melalui teknik-teknik melipat. Dalam origami, tentunya penggunaan lem atau gunting tidak diperbolehkan, sebab kalau demikian bentuk yang dihasilkan tidak lagi dianggap origami.

Dalam perkembangan selanjutnya lagi, seni melipat kertas atau origami ini rupanya sering pula berhubungan dengan matematika. Sehingga tidak heran, banyak juga diantara para pembuat origami (paperfolder) ini juga ada dari kalangan ilmuwan matematika.

Perlu ddiketahui pula, dalam menghasilkan origami juga diperlukan adanya aksioma atau teorema-teorema matematika.

Untuk melihat bagaimana ilmuwan matematika mencurahkan perhatiannya terhadap origami ini, mungkin ini layak Anda simak:

Berikut ini adalah beberapa gambar origami :











Sr : matematikamenyenangkan